Axiomas y postulados

AXIOMAS Y POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA

Axioma: Es una proposición tan evidente por si misma que no requiere demostración, como por ejemplo: en el Fútbol no se puede tocar la pelota con las manos.

Postulado: Es una proposición cuya verdad se admite sin demostración, por un convenio ó un acuerdo.

Definición: Es una proposición que implica una demostración clara y precisa, por ejemplo: un ángulo recto es igual a 90°.

Los axiomas son:

• Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
• Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales, las sumas son iguales.
• Si cantidades iguales se restan de cantidades iguales, las diferencias son iguales.
• Dos figuras que coinciden son iguales entre sí.
• El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

Los postulados son:

• Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera.
• Todo segmento puede extenderse indefinidamente en línea recta.
• Un círculo puede tener cualquier centro y cualquier radio.
• Todos los ángulos rectos son iguales.
• Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por ese lado.

Otra forma equivalente, más conocida de expresar el quinto postulado es: "Por un punto exterior a una recta no puede trazarse más que una paralela a ella"
Algunas proposiciones equivalentes al postulado de las paralelas (postulado 5) son:

• Playfair: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una.
• Proclo: Dos rectas paralelas están entre si a una distancia finita.
• Legendre: Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos.
• Saccheri y Laplace: Existen dos triángulos no congruentes, con los ángulos de uno respectivamente iguales a los del otro.
• Legendre y Lorente: Por un punto cualquiera interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos pasa una recta que corta a ambos lados del ángulo.
• Gauss: Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k.
• Bolilla: Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.
  

TEOREMAS:

--->TEOREMA I

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales

Siendo  y  dos ángulos opuestos por el vértice, y  un ángulo adyacente y suplementario de los dos, tenemos:

por ser suplementarios, por lo tanto:

--->TEOREMA II

Si dos lados de un triangulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triangulo, los dos triángulos son iguales.

--->TEOREMA V

Si dos ángulos de un tiangulo son iguales, los opuestos son iguales, y el triángulo es por tanto isóceles.

colóquese por superposición un triangulo sobre otro 

--->TEOREMA VI

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro, los dos triángulos son iguales.

--->TEOREMA VII

Si de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados, la suma de esas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo.

--->TEOREMA XIII

Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyacentes  a ella.

--->TEOREMA XIV 

Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a un tercera no pueden encontrarse, por mñas que se prolonguen.

--->TEOREMA XV

Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.

--->TEOREMA XVI 

Si dos paralelas soncortadas por una transversal los ángulos alternos-internos son iguales.

--->TEOREMA XVII

Si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una transversal ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas paralelas.

--->TEOREMA XVIII

Si dos paralelas son cortadas por una transversal los ángulos correspondientes son iguales.

--->TEOREMA XIX

La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectas.